
\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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\geometry{
	a4paper,
	left=12.7 mm,
	right=12.7 mm,
	top=12.7 mm,
	bottom=12.7 mm,
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\usepackage{ctex}

\newcommand{\bvec}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}
\newcommand{\matrx}[1]
{
	\ensuremath
	{
		\left (
		\begin{matrix}
			#1
		\end{matrix}
		\right)
	}
}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}

\section{系统的自旋：自旋的加法规则}
\footnote{参考：Cohen《量子力学》}
我们已经知道了一个粒子的自旋，现在，我们要求多个粒子作为一个系统整体的自旋，
即讨论自旋的加法规则。
这一规则同样适用于自旋+角动量的情况。
我们先以两个粒子的情况为例。

\subsection{系统总自旋的定义与（不）互易性}
我们引入系统的自旋算符 $\bvec {\hat S}$，
$\bvec {\hat S}$应该是两个粒子各自自旋算符之和：
\begin{equation}
	\bvec {\hat S} = \bvec {\hat S}^{(1)} +  \bvec {\hat S}^{(2)}
	= 
	\matrx
	{
		\hat S^{(1)}_x + \hat S^{(2)}_x \\
		\hat S^{(1)}_y + \hat S^{(2)}_y \\
		\hat S^{(1)}_z + \hat S^{(2)}_z \\
	}
\end{equation}
其中 $ \bvec {\hat S}^{(1)},  \bvec {\hat S}^{(2)} $分别代表两个粒子各自的自旋算符。

可以证明（具体过程参考Cohen《量子力学》卷二），系统的自旋总量算符$\hat S^2$和各个粒子的自旋总量$\hat S^{(n)2} $算符是互易的：
\begin{equation}
	[\hat S^2,  \hat S^{(1)2} ]=[\hat S^2,  \hat S^{(2)2} ]=0
\end{equation}
这个结果比较显然：粒子的自旋总量取决于粒子种类、观察系统的总自旋不应该改变粒子的自旋。
此外，系统自旋总量的分量$S_z$和各个粒子的自旋分量$S^{(n)}_z$算符是互易的：
\begin{equation}
	[\hat S_z, \hat S^{(1)}_z] = [\hat S_z, \hat S^{(2)}_z] = 0
\end{equation}
这意味着一旦粒子的自旋分量确定，系统的总自旋分量也应该确定。
然而奇怪的是，系统自旋总量$\hat S^2$和各个粒子的自旋分量$\hat S^{(n)}_z$算符，\textbf{不互易}：
\begin{equation}
	[\hat S^2, \hat S^{(1)}_z] \ne 0
\end{equation}
这意味着（除了一些没得选择的特殊情况）一般不存在一个本征态能使$S^2$与$S^{(n)}_z$等同时是定值；
不大严谨地说，这意味着：
\begin{itemize}
	\item 如果我们知道每一个粒子的自旋分量$S^{(n)}_z$，那么系统的自旋总量$S^2$是不确定的；
	\item 如果我们知道系统的自旋总量$S^2$，那么其中每一个粒子的自旋分量$S^{(n)}_z$是不确定的；
\end{itemize}
这个奇妙的不互易让自旋的加法规则繁杂了起来。


\newpage

\subsection{自旋的加法规则；Clebsch-Gordan 表}
基于上述结论，以及一些\textsl{我也不知道为什么（如果你知道，你可以在隔壁提PR）}的原因，
若我们知道二粒子系统的总自旋及其分量，
我们可以如下书写各个粒子的自旋及其分量：
\begin{equation}
	\ket{S, M} = \sum_n c_n \ket{s_1, m_1} \ket{s_2, m_2} 
\end{equation}
反过来说，若我们知道的是各个粒子的自旋及其分量，
我们可以如下书写二粒子系统的整体自旋及其分量：
\begin{equation}
	\ket{s_1, m_1} \ket{s_2, m_2} = \sum_n c_n \ket{S, M}
\end{equation}
其中
\begin{itemize}
	\item $S$, $M$代表系统总自旋及其$z$分量的量子数；
	\item $s_1$, $m_1$代表其中一个粒子的自旋总量及其$z$分量等的量子数；
	\item $\sum_n$ 代表对所有情况加和；这个求和正体现了我们之前所说的不互易性，“一般不存在一个本征态...”；
	\item $c_n$是系数，需要查表。
	有一张著名的表叫做Clebsch-Gordan表，其列举了各种情况下的$c_n$。
	Clebsch-Gordan表应该很容易被找到。
	据说可以用更深刻的数学理论推导Clebsch-Gordan表；
\end{itemize}
这些公式满足如下约束，即自旋的加法规则：
\begin{itemize}
	\item $S \in \{s_1+s_2, s_1+s_2-1,s_1+s_2-2, ...,\abs{s_1-s_2}\}$。
	
	系统总自旋的范围是可以确定的。
	假如一个$s=1/2$电子和一个$s=1/2$质子组成一个氢原子，
	那么这个原子作为整体的自旋可以是$S = 1$或$S=0$。
	
	\item $M = m_1+m_2$
	
	假如我们知道一个氢原子$S=1$且$M=0$，
	那么
	要么电子的$m=1/2$、质子的$m=-1/2$；
	要么电子的$m=-1/2$、质子$m=+1/2$，
	
	\item $M = -S, -S+1,...,S-1,S$
\end{itemize}

\newpage
\subsection{应用Clebsch-Gordan 表：氢原子自旋}
以下以氢原子为例。
如上文所说，我们知道氢原子由$s=1/2$电子和一个$s=1/2$质子组成，
因此氢原子的$S = 1$或 $S = 0$。
对于$S=1$的情况，$M = -1, 0, 1$；而对于$S=0$的情况，只有$M=0$。
因此，共有以下$4$种情况。
\begin{table}[h]
	\centering
	\caption{小结} % 设置表格标题
	\label{tab:summary} % 设置标签，用于交叉引用
	\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
		\hline
		& $M=-1$ & $M=0$ & $M=1$\\
		\hline
		$S=0$ 
		&
		不适用 
		&
		$
		\begin{aligned}
			\ket{0, 0} 
			= & + \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{\frac{1}{2}, \frac{1}{2}} \ket{\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}} \\
			& - \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}} \ket{\frac{1}{2}, \frac{1}{2}} \\
		\end{aligned}
		$ 
		&
		不适用  
		\\
		\hline 
		$S=1$ 
		& 
		$
		\begin{aligned}
			\ket{1, -1} 
			= & - \ket{\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}} \ket{\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}} \\
		\end{aligned}
		$ 
		&
		$
		\begin{aligned}
			\ket{1, 0} 
			= & + \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{\frac{1}{2}, \frac{1}{2}} \ket{\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}} \\
			& + \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}} \ket{\frac{1}{2}, \frac{1}{2}} \\
		\end{aligned}
		$ 
		& 
		$
		\begin{aligned}
			\ket{1, 1} 
			= & \ket{\frac{1}{2}, \frac{1}{2}} \ket{\frac{1}{2}, \frac{1}{2}} \\
		\end{aligned}
		$ \\
		\hline
	\end{tabular}
\end{table}

G书中进一步说明了这个线性组合背后的物理含义。
提示：叠加波函数时，各个系数的概率意义。

\subsection{多个粒子的情况}
\footnote{本节参考：Griffiths 《粒子物理导论》。本节使用AI辅助}
我们可以将上述讨论进一步拓展到多粒子系统的自旋加法规则。
例如，考虑一个重子，它由三个夸克组成，每个夸克的自旋为 $s = 1/2$。请问这个重子的总自旋 $S$ 是多少？

为了清晰地分析这一问题，我们引入一个中间步骤：首先将前两个夸克视为一个“假想粒子”，其总自旋记为 $S_{\text{imag}}$。
根据自旋加法规则，这个假想粒子的自旋有两种可能：
$$
S_{\text{imag}} = s_1 + s_2 = 1/2 + 1/2 = 1 \quad \text{或} \quad S_{\text{imag}} = |s_1 - s_2| = |1/2 - 1/2| = 0
$$
接下来，我们将第三个夸克与这个“假想粒子”组合。对于 $S_{\text{imag}} = 1$ 的情况，总自旋 $S$ 的可能值为：
$$
S = S_{\text{imag}} + s_3 = 1 + 1/2 = 3/2 \quad \text{或} \quad S = |S_{\text{imag}} - s_3| = |1 - 1/2| = 1/2
$$
而对于 $S_{\text{imag}} = 0$ 的情况，总自旋 $S$ 的唯一可能值为：
$$
S = S_{\text{imag}} + s_3 = 0 + 1/2 = 1/2
$$
综合以上两种情况，理论上一个重子的总自旋 $S$ 可以为：
$$
S = 3/2 \quad \text{或} \quad S = 1/2
$$
\end{document}